Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.
Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.
Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.
События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.
В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.
Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последова­тельность работ с их временными характеристиками: Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были
направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.

Рис. 2. Сетевой график примера

Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.
Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём .
Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ 1 – ранний срок наступления события i, предшествующего событию j; t ij – продолжительность работы (ij).

Поздний срок наступления события (LТ) – это наиболее позд­ний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа нале­во от конечного события к начальному по формуле:

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).

Затем расчёты выполнить в обратном направлении и найти поздние сроки наступления событий.
Положить ЕТ 10 = LT 10 . LT 9 = LT 10 – t 9,10 = 51 –11 = 40.
LT 8 = LT 10 – t 89 = 51 – 9 = 42, и т.д.
Возможен и другой способ вычисления показателей – табличный.
События отмечаются в квадратах "главной" диагонали. Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах отно­сительно главной диагонали таблицы. В верхних "побочных" квад­ратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних "побочных" квадратах на­оборот.
Порядок заполнения таблицы

1. Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.
2. Заполняются знаменатели верхних "побочных" квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего "по­бочного" в той же строке.
3. Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних "побочных" квадратов в том же столбце.
4. Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным числителю этого квадрата. Знаменатели нижних "побочных" квадратов равны разности знаменателя главного и числителя "ниж­него" побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменате­лей "нижних" побочных в том же столбце.
Расчёт показателей сетевого графика

Из таблицы находятся показатели графика:
1. Ранние сроки наступления событий (числители главных квадратов).
2. Поздние сроки наступления событий (знаменатели главных квадратов).
3. Резервы времени событий (разность между знаменателем и числителем главного квадрата). В нашем случае критическими событиями (не имеющими резер­вов) являются 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10. Они составляют критический путь. Продолжительность критического пути равна 51 (числитель или знаменатель последнего главного квадрата).
4. Ранний срок окончания работ (знаменатели верхних "по­бочных" квадратов).
5. Поздний срок наступления работ (знаменатели соответс­твующих нижних "побочных" квадратов).

6. Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" в том же столбце).
7. Свободные резервы времени работ (разность между числите­лем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" квадра­та в том же столбце).

Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева – ранний, а справа – поздний сроки наступления события (рис.3).

Рис. 3. Сетевой график с временными характеристиками

Итак, критический путь проходит вдоль работ 1–3–4–6–7–8–10, и его длительность равна 51.
Резерв времени события определяется как разность между их LT и ET. Ясно, что резервы времени событий вдоль критического пути равны нулю. Для нашего примера резерв времени, например, события 2 равен 28–10 = 18, а события 9 равен 40–36 = 4. На эти промежутки времени может быть задержано выполнение соответствующих работ без риска задержать проект в целом.
Это были временные характеристики событий. Рассмотрим вре­менные характеристики работ. К ним относятся свободный и общий (полный) резервы времени работ.
Общий резерв времени работы (ТS) определяется из соотноше­ния

TS ij = LT j – ET i – t ij

и показывает, на сколько можно увеличить продолжительность ра­боты при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.
Свободный резерв времени работы (FS) определяется из соотношения

FS ij = ET j – ET i – t ij

и показывает часть полного резерва времени, на которое можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события.
Если свободный резерв времени работ может быть использован по всем работам сети одновременно (тогда все работы становят­ся критическими), то для полных резервов этого сказать нельзя; его можно использовать или для одной работы пути полностью, или для разных работ частями.
Для критических работ ТS и FS равны нулю. ТS и FS могут быть использованы при выборе календарных сроков выполнения нек­ритических работ и для частичной оптимизации сетевых графиков.
Окончательно имеем: Временные характеристики работ

Некритические работы	Продолжительность	Общий	Свободный резерв FS
1-2	10	18	0
1-4	6	5	5
2-5	9	18	0
4-5	3	23	5
3-6	8	9	9
4-7	4	15	15
5-8	5	18	18
6-9	7	12	8
7-9	6	4	0
7-10	8	13	13
9-10	11	4	4

Задачи для контрольных заданий №4

По следующим данным построить сеть, аналогичную рассмотренной в примере, определить временные характеристики ее работ и событий, критический путь и его длину. При выполнении данной задачи подставьте вместо n номер своего варианта и полученное число округлить до целого.

Работа	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(2,5)	(2,4)	(3,4)	(3,6)	(4,5)	(4,6)
Продолжительность	5+n/3	6+n/3	7+ n/3	4+n	8+ n/3	3+n	4+n/2	10+ n/3	2+n
(4,7)	(5,7)	(5,8)	(6,7)	(6,9)	(7,8)	(7,9)	(7,10)	(8,10)	(9,10)
8+ n/3	9+n/2	10+ n/3	12+n/2	9+n	7+ n/3	5+n	9+n	11+n/2	8+ n/3

Для каждого события, включенного в сетевой график, рассчитываются следующие показатели:

Ранний срок наступления события, характеризующий наиболее ранний из возможных сроков совершения того или иного события;

Поздний срок наступления событий, характеризующий наиболее поздний из допустимых сроков того или иного события. Если установлен срок наступления завершающего события, являющегося результатом всего комплекса проводимых работ, то каждое промежуточное событие должно наступить не позже определенного срока. Этот срок и является предельно допускаемым сроком наступления события;

Резерв времени наступления событий, который определяется как разность между поздним и ранним сроками наступления события.

Зная указанные показатели для событий, для каждой из работ составленного графика можно определить следующие параметры: ранний срок начала работы, который определяется моментом наступления начального ной работы события в его ранний срок; поздний срок начала работы, определяемый моментом наступления конечного для данной работы события в его поздний срок за вычетом продолжительности работы (временной оценки); ранний срок окончания работы и, наконец, поздний срок окончания работы, т. е. предельно допускаемый срок окончания.

Расчет основных временных параметров производится по соответствующим формулам.

Ранний срок наступления любого последующего события (j-го) определяется величиной пути максимальной продолжительности, ведущего к нему от исходного события. Выбор этой продолжительности может быть осу­ществлен по следующей формуле:

Производя расчеты, удобно принимать, что ранний срок наступления исходного (1-го) события равен нулю, т.е. .Тогда .

Поскольку к событию 2 идет только один путь от события 1, то выбирать максимальные продолжительности путей не приходится: . Сказанное только что относится и к данному расчету. Поиному обстоит дело, когда мы подошли к событию 4. К нему ведут два пути: прямой от события 1 и опосредствованный событием 2. Здесь надо использовать во всей полноте нижеприведенную формулу:

Значит, 4-е событие сможет наступить на 14-й день от общего начала работ (но не через 7 дней, как это может показаться вначале).

Продолжаем расчеты. Очередным является событие 5. К нему ведут два пути: от события 4 и от события 3. Применяем формулу

Аналогично поступаем и с расчетами ранних сроков наступления событий 6 и 7:

Затем рассчитываем . К событию 8 ведут четыре пути, поэтому придется иметь дело с выбором макси­мальной величины из четырех слагаемых.

Следовательно, завершающее (8-е) событие может наступить лишь на 36-й день от начала выполнения всего комплекса работ.

Поздний срок наступления любого предыдущего (i-го) события определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события. Выбор этой продолжительности может быть осуществлен по формуле

Примем самый поздний срок наступления (8-го) события, равный 36 единицам времени, поскольку ранний срок (по предыдущим расчетам) был равен этому числу.

Определим этот показатель для последующих событий:

При расчетах последующих событий 5,4 и т. д., к которым идут несколько путей, необходимо в полной степени использовать вышеприведенную формулу

В конце рассчитываем , к которому ведут три пути, и, как в предыдущих расчетах, выбираем мини­мальный путь

Полученный результат говорит о том, что расчеты произведены правильно.

На основе этих расчетов определяются резервы времени для событий как разность между самым поздним и самым ранним сроками их наступления. Резервы времени для событий показывают, на какой предельно допустимый период времени может задержаться наступление того или иного события, не вызывая при этом опасности срыва наступления завершающего события. Разумеется, события, находящиеся на критическом пути, не имеют резервов времени. Имеем:

Следовательно, критический путь проходит от 1-го до 8-го события через 2-, 4- и 6-е события, у которых резервы времени равны нулю.

Обратим внимание на тот факт, что если два события, начальное и конечное, для данной работы критические, то это еще не означает, что связывающая их работа находится на критическом пути. На рассматриваемом графике 2-е и 6-е события - критические, а работа (2,6) не лежит на критическом пути. Это обусловлено тем, что указанные события связаны между собой еще одним путем большей продолжительности, в нашем примере работами (2,4) и (4,6). Следует также сказать и о работе (4,8), связывающей два критических события - 4-е и 8-е.

Работы также могут располагать резервами времени для их выполнения. При этом различают следующие разновидности резервов времени.

Полный резерв времени - это максимально возможный запас времени для выполнения данной работы сверх продолжительности самой работы при условии, что в результате такой задержки конечное для данной работы событие наступит не позднее чем в свой поздний срок. Другими словами, это разница между поздним сроком совершения конечного события и суммой раннего срока наступления начального события и продолжительности работы. Следовательно, полные резервы времени для работ можно вычислить по формуле

где - полный резерв времени для (i, j)-й работы.

Например, полный резерв времени для работы (3,5) составит

Значит, работа (3,5) может быть выполнена не за семь дней, а за 27 дней (20 + 7) без задержки выполнения всего комплекса работ, предусмотренных сетевым графиком. Конечно, это предельный максимальный срок, ибо задержка в выполнении работы хотя бы на один день грозит срывом срока наступления завершающего (8-го в нашем примере) события.

Свободный резерв времени - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что предшествующее и последующее события этой работы наступают в свои самые ранние сроки. Другими словами, это разница между ранними сроками наступления конечного для работы события и суммой раннего срока наступления начального события и продолжительности работы. Формула для расчета свободного резерва времени имеет вид

где - свободный резерв времени для (i, j)-й работы.

Свободный резерв времени для той или иной работы показывает, насколько можно увеличить продолжитель­ность работы без всякой опасности срыва своевременного выполнения всего комплекса работ, поскольку свободный резерв работы не влияет на резервы времени других работ.

Например, свободный резерв времени для работы (3,5) равен

Значит, работу (3,5) можно без всякого риска выполнить за 15 дней (8 + 7) или начать на восемь дней позже, если ее выполнение осуществится за семь дней.

Частный резерв времени первого вида - это запас времени, которым можно располагать в предположении, что начальное и конечное события работы совершаются в свои поздние сроки.

Этот резерв времени равен разности между самым поздним допустимым сроком наступления конечного для работы события и суммой позднего срока наступления начального события и продолжительности работы. Для расчета частного резерва времени второго вида предлагается следующая формула:

где - частный резерв времени первого вида. Например, для работы (3,5) этот резерв составит

а для работы (5,8) будет

Частный резерв времени второго вида - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы, имея в виду, что его использование не повлияет на ранний срок наступления конечного события, а также на величину резервов времени всех остальных работ графика. Этот резерв определяется как разность между самым ранним сроком наступления конечного для данной работы события и суммой самого позднего срока наступления начального для работы события и продолжительности данной работы.

Не для каждой работы существует частный резерв второго вида. Чаще всего бывает, что разность между самым ранним сроком наступления конечного события и самым поздним сроком наступления непосредственно предшествующего события не превышает продолжительности работы или оказывается даже меньше ее. В этом случае резерв для работы принимается равным нулю.

Формула для расчета частного резерва времени второго вида имеет вид

где - частный резерв второго вида для (i,j)-й работы.

Например, для работы (3,5) частный резерв второго вида равен

Полученный результат означает следующее: не может случиться так, чтобы 5-е событие наступило в ранний срок, в то время как 3-е событие наступит в поздний срок. Включение в фигурные скобки нуля с указанием перед ним знака дает возможность считать, что указанного вида резерва не существует (ведь отрицательным резерв быть не может).

А вот для работы (5,8) частный резерв первого вида существует:

Расчет основных показателей сетевого графика по формулам, приведенным выше, весьма трудоемкий и проводится, как правило, на электронных вычислительных машинах. Если сетевой график небольшой (около 100 событий), то расчеты можно проводить вручную.

При этом удобно пользоваться табличным способом расчета основных показателей сетевого графика.

Для этого составляется квадратная (шахматная) таблица, количество строк и столбцов которой соответствует количеству событий. Приведем эти расчеты на примере сетевого графика, который нами использован выше. Это одновременно позволит нам проверить правильность получаемых результатов по основным показателям сетевого графика.

Составим табл. 1 из 8 строк и 8 столбцов (по количеству событий в сети). Выделим в ней жирным контуром квадраты по главной диагонали, т.е. квадраты, имеющие одинаковые номера строк и столбцов, в которых они находятся. Эти квадраты будем называть «главными», а остальные квадраты - «побочными». Отметим «побочные» квадраты, находящиеся на пересечении строк и столбцов с номерами непосредственно связанных друг с другом событий. Для квадратов, находящихся выше главной диагонали, номер строки будет соответствовать номеру начального события, а номер столбца - номеру конечного для данной работы события. Наоборот, для квадратов, находящихся ниже главной диагонали, начальному событию будет соответствовать номер столбца, а конечному - номер строки.

В числители отмеченных квадратов запишем продолжительности соответствующих работ. Например, в числитель квадрата, находящегося на пересечении 2-й строки и 6-го столбца (т.е. выше главной диагонали), запишем число 8 (продолжительность работы между 2-м и 6-м событиями); в числитель квадрата, находящегося на пересечении 5-й строки и 3-го столбца (т.е. ниже главной диагонали), записываем число 7 (продолжительность работы между 3-м и 5-м событиями).

Вначале проводятся вычисления знаменателей для отмеченных «побочных» квадратов, находящихся выше главной диагонали.

Вычисления выполняются в следующем порядке. В первый «главный» квадрат (т.е. квадрат, относящийся к первому событию) записываем нуль, а в знаменатели квадратов первой строки, где проставлены числители, записываем сумму 0+t(i,j). В нашем примере 0+t(1,2)=0+4=4; 0+t(1,3)=0+2=2; 0+t(1,4)=0+7=7.

Переносим знаменатель квадрата (1,2), равный в нашем примере 4, в числитель «главного» квадрата 2-го столбца, а в знаменателе отмеченного квадрата 2-й строки, где проставлены числители, записываем сумму 4 + / (2, у); в нашем примере 4+t(2,4)=4+10=14; 4+t(2,6)=4+8=2.

Далее переносим знаменатель квадрата (1,3), равный в нашем примере 2, в числитель «главного» квадрата 3-го столбца, а в знаменатели квадратов 3-й строки записываем сумму 2+t(3,5)=2+7=9; 2+t(3,7)=2+6=8. Затем переносим максимальный из знаменателей квадратов 4-го столбца (выше главной диагонали) в числитель «главного» квадрата этого столбца (в нашем примере max {12; 14}), а в знаменатели «побочных» квадратов 4-й строки записываем сумму 14+t(4,5)=14+3=17; 14+t(4,6)=14+12=26; 14+t(4,8)=14+6=20. Поступая аналогично, определяем знаменатели для всех «побочных» квадратов выше главной диагонали (во всех случаях в числитель «главных» квадратов записываем наибольший из знаменателей «побочных» квадратов, находящихся в данном столбце выше главной диагонали).

Проведя все эти расчеты, получим определенное число для последнего «главного» квадрата (в нашем примере 36 - наибольший из знаменателей последнего столбца).

Теперь проведем вычисления знаменателей для «побочных» квадратов, находящихся ниже главной диагонали. Расчеты проводим в обратном порядке, начиная с последнего «главного» квадрата. Из числа, записанного в этом квадрате, вычитаем числители в «побочных» квадратах нижней строки и результат записываем в знаменатели. Минимальный из знаменателей данного столбца переносим в «главный» квадрат (знаменатель). Из него опять вычитаем числители в «побочных» квадратах соответствующей строки и получаем знаменатели, наименьший из которых переносим в «главный» квадрат.

Для событий, лежащих на критическом пути, числители и знаменатели «главных» квадратов совпадают, и для первого «главного» квадрата должен получиться нуль. На этом вычисления заканчиваются.

Из табл. 1 получаем показатели сетевого графика:

· продолжительность критического пути (число в последнем «главном» квадрате);

· ранние сроки наступления событий (величины числителей в «главных» квадратах);

· самые поздние сроки наступления событий (величины знаменателей в «главных» квадратах);

· резервы времени для событий (разность между знаменателем и числителем в каждом «главном» квадрате). Для событий, находящихся на критическом пути, как известно, резервы времени равны нулю. Это значит, что в квадратах, соответствующих критическим событиям, числители и знаменатели должны быть равны;

· самые ранние сроки окончания работ (величины знаменателей в «побочных» квадратах выше главной диагонали); самые поздние сроки начала работ (величины знаменателей в «побочных» квадратах ниже главной диагонали);

· полные резервы времени для работ (разность между знаменателем «главного» квадрата и знаменателем «побочного» квадрата для данной работы выше главной диагонали, но в том же столбце); свободные резервы времени для работ (разность между числителем «главного» квадрата и знаменателем «побочного» квадрата для данной работы выше главной диагонали).

Путем простейших арифметических действий можно определить и все остальные показатели сетевого графика. Так, частный резерв времени первого вида для работы (i,j) определяется путем вычитания из знаменателя «главного» квадрата j-го события знаменателя «главного» квадрата i-го события и числителя «побочного» квадрата выше главной диагонали, содержащего продолжительность (i,j)-й работы. Частный резерв второго вида для работы (i,j) определяется путем вычитания из числителя «главного» квадрата j-го события знаменателя квадрата i-го события и числителя «побочного» квадрата, соответствующего (i,j)-й работе и находящегося выше главной диагонали.

К основным параметрам сетевого графика относятся:

Критический путь

Резервы времени свершения событий

Резервы времени для выполнения работ

Путь – последовательность работ, в которой конечное событие одной работы, совпадает с начальным событием другой.

Полный путь – путь, началом которого является исходное событие, а концом завершающее.

Продолжительность, длина пути, равна сумме продолжительностей работ. Его составляющих.

Критический путь – полный путь. наибольший по продолжительности из всех путей сетевого графика от исходного события (I) до завершающего (С).

Длина критического пути определяет общую продолжительность выполнения всего комплекса работ. Критический путь позволяет найти срок наступления завершающего события.

Полные пути могут проходить вне критического или частично совпадать с ним. Эти меньшие по продолжительности пути называются ненапряженными. Особенности их в том. Что они имеют резервы времени. А критический путь – нет. Для каждого i-го события определяется:

t pi – ранний срок наступления – минимальный из возможных сроков наступления данного события при заданной продолжительности работ.

t п i – поздний срок наступления – максимальный из сроков наступления данного события, при которых еще возможно выполнение всех следующих работ, с соблюдением установленного срока наступления события.

R i – резерв времени для события – промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление этого события без нарушения срока разработки планируемого комплекса в целом. Определяется как разность между поздним (t п i ) и ранним (t р i ) сроками свершения данного события.

Резервы событии критического пути равны нулю, так как на нём t п i =t р i

Для каждой работы (t ij ) определяется:

ранний срок начала (t р.н. ij) – минимальный из возможных сроков начала данной работы.

ранний срок окончания (t р.о. ij) – минимальный из возможных сроков окончания данной работы, при заданной продолжительности работ

поздний срок начала (t п.н. ij) – максимальный из допустимых сроков начала данной работы

поздний срок окончания (t п.о. ij) – максимальный из допустимых сроков окончания данной работы, при которых еще возможно выполнения следующих работ с соблюдением установленного срока наступления завершающего события.

Очевидно, ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления ее начального события, а ранний срок окончания превышает его на продолжительность работы:

t р.н. ij = t р i

t р.о. ij = t р i + t ij

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком ее конечного события, а поздний срок начала работы меньше на время выполнения работы:

t п.о. ij = t п j

t п.н. ij = t п j – t ij

Полный резерв времени для выполнения работы R nij – максимальный период времени, на который можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя установленный срок наступления завершающего события.

Свободный резерв времени для выполнения работы , являющийся частью полного резерва – максимальный период времени, на который можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя при этом ранних сроков начала последующих работ.

Работы, лежащие на критическом пути, резервов не имеют, так как все резервы создаются за счёт разностей продолжительностей критического и рассматриваемого путей.

Относительным показателем, характеризующим резерв времени для выполнения работ, является коэффициент их напряженности, который равен отношению продолжительности отрезков пути между одними и теми же событиями, причем, один отрезок является частью пути максимальной продолжительности из всех путей, проходящих через данную работу, а другой отрезок – частью критического пути.

3.Расчет сетевых моделей

Параметры сети для сетевого графиков рассчитываются графическим и табличным методом, а для сложных математическим методом.

Графически метод расчёта осуществляется непосредственно на графике и применяется в тех случаях, когда число событий невелико. Для этого каждый кружочек делится на 4 сектора.

Верхний сектор – резерв времени наступления события R i

левый сектор – ранний срок наступления события t pi

правый сектор – поздний срок наступления события t п i

внизу – номер события

Методика расчёта параметров

1) Ранние сроки свершения событий . Ранний срок свершения исходного (первого или нулевого) события принимается равным нулю. Ранние сроки свершения всех остальных событий определяется в строгой последовательности по возрастающим номерам событий. Для определения раннего срока свершения любого события j рассматриваются все работы входящие в это событие, по каждой работе определяется ранний срок свершения конечного события как сумма раннего срока свершения начального события работы и продолжительности этой работы t ij , из полученных значений выбирается максимальное время раннего срока свершения j-го события

t pj = (t pi +t ij) max и записывается на график (левый сектор события)

2) Поздние сроки свершения событий . Поздний срок свершения завершающего события принимается равным его раннему сроку. Расчет поздних сроков свершения всех остальных событий ведется в обратной последовательности, по убывающим номерам событий. Для определения позднего срока свершения предыдущего события i рассматриваются все работы выходящие из i-го события. По каждой работе ведется расчет позднего срока свершения начального события t п i , как разность между поздним сроком свершения конечного события этой работы t п j и продолжительностью данной работы t ij .Из полученного значения выбирают минимальное время позднего срока свершения i-го события: t п i = (t п j - t ij)min и записывается в правый сектор.

3) Продолжительность критического пути равен раннему сроку наступления завершающего события.

4) Резервы времени событий . При определении резервов времени для событий следует вычесть из числа, записанного в правом секторе данного события, число, записанное в левом секторе и поставить его в верхний сектор.

5) При определении полного резерва времени для работы следует вычесть из числа, записанного в правом секторе конечного события, число, записанное в левом секторе начального события, и продолжительность самой работы.

6) При определении свободного резерва для работы следует вычесть из числа, записанного в левом секторе конечного события, число, записанное в левом секторе начального события, и продолжительность самой работы.

Исходные данные:

Табличный метод

Коды работ в таблице записываются по возрастанию индекса i.

Столбцы 2 и 3 заполняются вспомогательными данными: кодами предшествующих и последующих работ. Эти данные будут необходимы для расчетов. Если работы начальные, то есть предшествующих им работ нет, или конечные, то есть последующих работ нет, то в соответствующих графах ставятся прочерки. Предшествующих и последующих работ может быть несколько в соответствии с количеством векторов, кончающихся или начинающихся в данном событии./

В столбце 4 размешают значения продолжительности работ.

Со столбца 5 начинаются расчетные данные. Расчет производится в два прохода по строкам таблицы. Первый проход по строкам сверху вниз, при котором рассчитываются ранние сроки работ, а второй проход по строкам снизу вверх, при котором рассчитываются поздние сроки работ.

Раннее начало работ, не имеющих предшествующих (в графе 2 – прочерк), может быть принято за 0, если не задано какое-либо другое значение. Раннее окончание работы определяется согласно формуле t р.о. ij = t рн ij + t ij и записывается в графу 6.

Раннее начало остальных можно определить как, если рассматривается, например работа 2,5, у которой начальное событие 2, то время ее раннего начала равно времени раннего окончания работы 12, так как у нее конечное событие 2. Значение из графы 6 переписывается в графу 5. Коды предшествующих работ указаны в графе 2. Раннее окончание также определяется по формуле t р.о. ij = t рн ij + t ij

Если, в графе 2 указано, что некой работе предшествует более, чем одна работа (работе 5,6 предшествуют работы 2,5 и 3,5), то необходимо выбрать значение раннего начала из нескольких вариантов значения (9 – по времени окончания работы 2,5 или 13 – по времени окончания работы 3,5). Правило выбора соответствует формуле t p .н. ij = (t pi +t ij) max , то есть выбирается максимальное значение (в примере – 16). Ранние окончания определяются как указывалось выше.

Максимальное значение раннего окончания в графе 6 соответствует значению продолжительности критического пути (16).

Второй проход вдоль строк таблицы от работы, записанной в последней строке, к работе, записанной в первой строке, позволяет определить значения поздних показателей работ. Для работ, у которых нет последующих работ (в графе 3 – прочерк, в примере работы 46, 5,6) в графу позднего окончания (8) записывается значение критического пути. Для этих работ значение позднего начала вычисляется по формуле t п.н. ij t по ij - t ij

Позднее окончание остальных можно определить как, если рассматривается, например работа 3,5, у которой конечное событие 5, то время ее позднего окончания равно времени позднего начала работы 5,6, так как у нее конечное событие 5. Значение из графы 7 переписывается в графу 8. Коды последующих работ указаны в графе 3. Позднее начало также определяется по формуле t п.н. ij t по ij - t ij .

Если, в графе 3 указано, что некой работе следует более, чем одна работа (работе 0,1 следуют работы 1,2 и 1,3), то необходимо выбрать значение позднего окончания из нескольких вариантов значения (3 – по времени начала работы 1,3 или 7 – по времени начала работы 1,2), выбирается минимальное значение (в примере – 3). Позднее начало определяются как указывалось выше по формуле t п.н. ij t по ij - t ij .

Значение полного резерва времени (столбец 9) рассчитывается по формуле

R nij = t по ij - t рн ij - t ij .

Значение свободного резерва времени (столбец 10) рассчитывается по формуле

Начало (течение) срока, определяемого периодом времени, начинается на следующий день после календарной даты или наступления события , которыми определено его начало (ст.191 ГК).

Ни календарная дата, ни наступление события в срок не засчитываются.

Так, срок исковой давности определяется периодом времени (полгода, год, три года и пр.) и начинает течь со дня, когда лицо узнало или должно было узнать о нарушении своего права (наступление события). Если сведения о нарушении права получены 1 марта, то срок начинает течь 2 марта.

Законом (ст.192 ГК) довольно подробно регулируется окончание срока, определяемого периодом времени. Регулируется окончание сроков, определяемых днями, неделями, месяцами, кварталами, полугодиями, годами.

Срок, исчисляемый днями , истекает в последний день этого срока. Например, стороны установили, что обязательство должно быть исполнено в течение 5 дней с момента подписания договора. Договор подписан 5 октября. Течение срока исполнения обязательства начинается, согласно ст.191 ГК, 6 октября. Следовательно исполнения обязательства будет 10 октября.

Срок составляет 5 рабочих дней с момента сдачи заявителем документов в регистрирующий орган. Если документы сданы 6 октября, в пятницу, то течение срока регистрации начнется в понедельник, 9 октября, поскольку 7 и 8 октября - нерабочие дни. Соответственно днем окончания срока регистрации юридического лица будет пятница,13 октября.

Срок, исчисляемый неделями , истекает в соответствующий день последней недели срока. Например, двухнедельный срок, начавший течь во вторник, истекает во вторник второй недели срока.

Срок, определенный в полмесяца , рассматривается как срок, исчисляемый днями, и считается равным пятнадцати дням.

Срок, исчисляемый месяцами , истекает в соответствующее число последнего месяца срока. Так,если трехмесячный срок начал течь 11 августа, то последним днем его течения будет 11 ноября. Если срок определен в дробном отношении к месяцу (полтора месяца), то применяются правила об исчислении срока, определенного днями или месяцами и днями. Так, срок в полтора месяца считается равным месяцу и пятнадцати дням.

Если в том месяце, на который приходится окончание срока, нет соответствующего числа, то срок истечет в последний день этого месяца. Месячный срок, начавшийся 31 января, истечет 28 февраля, а в високосный год этот срок истечет 29 февраля.

Истечение сроков кварталами ведется с начала года, а срок, исчисляемый кварталами, равен 3 месяцам. Если срок исполнения обязательства установлен в третьем квартале 2015 г., то последним днем срока будет 30 сентября 2015 г.

Срок в полгода считается равным 6 месяцам. К таким срокам, как и срокам, определенным кварталами, применяются правила об окончании срока, исчисляемого месяцами. Шестимесячный срок, начавший течь 1 марта, истечет 1 сентября.

Срок, исчисляемый годами , истекает в соответствующие месяц и число последнего года срока. Окончание срока, исчисляемого годами , будет приходиться на то же число, с которого он начал течь. Так, трехлетний срок исковой давности, начавший течь 2 марта 2015 г., истечет 2 марта 2018 г.

В этой статье:Можно ли указать, что договор действует до исполнения обязательствПочему оплата товара не должна зависеть от факта его перепродажиКакие сроки исполнения мирового соглашения не примет суд

Статья 190 Гражданского кодекса предусматривает исчерпывающий перечень способов определения срока: календарной датой или истечением периода времени, указанием на событие, которое должно неизбежно наступить. Cущественное количество ошибок на практике вызывает порядок определения договорных сроков путем указания на событие, которое должно неизбежно наступить.

Очень часто события, к которым стороны договора привязывают начало или окончание течения какого-либо срока, не обладает признаком неизбежности наступления, поскольку зависит от воли и действий сторон.

Главный признак - независимость наступления события от воли сторон

В пункте 4 информационного письма Президиума Высшего арбитражного суда от 11.01.02 № 66 «Обзор практики разрешения споров, связанных с арендой» разъяснено: в силу статьи 190 Гражданского кодекса срок может определяться указанием лишь на такое событие, которое должно неизбежно наступить, то есть не зависит от воли и действий сторон. В ситуации, описанной в обзоре, срок договора аренды был установлен «до начала реконструкции здания, в котором расположено сданное внаем помещение». Суд признал срок неопределенным, поскольку вышеназванное условие «не может квалифицироваться как условие о сроке». Хотя этот вывод был сделан Президиумом Высшего арбитражного суда в контексте дела, связанного со сроком договора аренды, он распространяется в том числе на любые другие сроки.

Соответственно срок, установленный сделкой, не может определяться указанием на событие, не отвечающее признакам неизбежности наступления. Иначе срок не считается установленным. Несмотря на то, что вышеуказанной позиции Президиума Высшего арбитражного суда уже более 9 лет, на практике до сих пор весьма распространены ошибки, связанные с установлением сроков в привязке к событиям, которые так или иначе зависят от воли и действия сторон либо третьих лиц. Рассмотрим наиболее типичные ошибки.

Срок договора привязан к выполнению сторонами своих обязательств

Нередко в договорах стороны указывают, что договор прекращает свое действие по выполнению сторонами принятых на себя обязательств. Очевидно, что в рассматриваемом случае срок прекращения действия договора напрямую зависит от воли и действия сторон, то есть не обладает свойством неизбежности наступления. Например, по условиям агентского договора принципал поручил агенту выполнять функции заказчика по строительству, реконструкции, капитальному ремонту определенного объекта. Для реализации этих функций принципал перечислил агенту денежные средства. Спустя год агент выполнил свои обязательства только частично, и принципал направил агенту уведомление об отказе от договора. Поскольку к этому времени агент отработал только половину полученной суммы, принципал и потребовал вернуть оставшиеся деньги. Агент отказался, считая, что договор не окончил свое действие, так как в нем было указано, что он прекращается «по выполнению сторонами принятых на себя обязательств». Принципал обратился в суд, требуя возврата денежных средств в качестве неосновательного обогащения агента, а также уплаты процентов. Суд удовлетворил иск. Указание в договоре на прекращение его действия «по выполнению сторонами принятых на себя обязательств» не принято судом в качестве условия о сроке действия договора, поскольку указанное событие не обладает свойством неизбежности наступления. Следовательно, договор был заключен без определения срока его окончания, а в такой ситуации каждая из сторон агентского договора в любое время вправе отказаться от его исполнения (ст. 1010 ГК РФ). Таким образом, в связи с уведомлением агента принципалом об отказе от договора отношения между сторонами прекратились и денежные средства подлежали возврату (определение Высшего арбитражного суда от 08.09.09 № ВАС-11851/09, постановление Федерального арбитражного суда Московского округа от 04.06.09 по делу № А40-64760/08-27-624).

Наступление срока оплаты зависит от заключения другой сделки

Иногда в договорах стороны ставят наступление срока оплаты товара, работ (услуг) в зависимость от заключения другой сделки, не связанной с данным договором. Однако событие заключения другой сделки не отвечает критерию неизбежности наступления, поэтому такое условие об оплате не принимается во внимание и действуют положения Гражданского кодекса об оплате товаров, работ или услуг.

Пример из практики Стороны заключили договоры на выполнение оценочных работ по оценке рыночной стоимости имущества. В соответствии с договорами «оплата производится после реализации имущества в течение 10 банковских дней со дня заключения договора его купли-продажи». Оценка была проведена, и ее результаты переданы заказчику. Заказчик отказался оплатить работы, ссылаясь на то, что объекты, в отношении которых проводилась оценка, еще не проданы. Оценщик обратился в суд с требованием о взыскании задолженности по оплате, иск был удовлетворен. Суды всех инстанций отметили, что указание в договорах в качестве срока оплаты на событие, которое не должно неизбежно наступить, противоречит требованиям статьи 190 Гражданского кодекса, поэтому не имеет правового значения. Суды применили статью 711 Гражданского кодекса, согласно которой, если договором подряда не предусмотрена предварительная оплата работ, заказчик должен уплатить подрядчику обусловленную цену после окончания сдачи результатов работы при условии, что работа выполнена надлежащим образом и в согласованный срок (определение Высшего арбитражного суда от 13.03.09 № 2264/09, постановление Федерального арбитражного суда Восточно-Сибирского округа от 06.11.08 № А33-3244/08-Ф02-5368/08).

По той же причине недопустимо в договорах поставки, по которым покупатель приобретает товары для перепродажи, привязывать срок оплаты к событию дальнейшей реализации товаров покупателем (постановления Седьмого арбитражного апелляционного суда от 22.02.11 по делу № А45-15285/2010 , Федерального арбитражного суда Западно-Сибирского округа от 22.04.11 по делу № А45-10559/2010).

Срок исполнения мирового соглашения зависит от утверждения соглашения судом

Мировые соглашения представляют собой гражданско-правовые сделки, и на них распространяются все требования к сделкам, предусмотренные Гражданским кодексом. Мировое соглашение не может противоречить закону (ч. 5 ст. 49 , ч. 3 ст. 139 , ч. 2 ст. 140 , ч. 6 ст. 141 АПК РФ). При этом для любого мирового соглашения существенным условием являются сроки исполнения обязательств друг перед другом или одной стороной перед другой (ч. 2 ст. 140 АПК РФ). Поэтому если условие о сроке в мировом соглашении не соответствует требованиям статьи 190 Гражданского кодекса, суд отказывает в утверждении такого мирового соглашения. Самая распространенная ошибка - когда стороны арбитражного процесса определяют начало течения срока оплаты долга в зависимости от утверждения мирового соглашения судом.

Пример из практики На стадии исполнительного производства стороны обратились в арбитражный суд с заявлением об утверждении мирового соглашения, которым был предусмотрен график погашения долга должником. Арбитражный суд отказал в утверждении мирового соглашения. Одна из причин отказа заключалась в том, что в графике платежей срок исполнения обязательств стороны установили в виде определенного периода времени (15 дней), однако начало отсчета этого периода связали с событием, которое должно произойти в будущем, - утверждение именно данной редакции мирового соглашения арбитражным судом. Данное событие в нарушение статьи 190 Гражданского кодекса не обладает свойством неизбежности (постановление Федерального арбитражного суда Уральского округа от 07.06.11 по делу № А71-5906/2009).

Также недопустимо устанавливать срок исполнения мирового соглашения как в течение определенного периода времени после «предъявления надлежаще оформленного определения суда об утверждении настоящего мирового соглашения» (постановления Федерального арбитражного суда Западно-Сибирского округа от 01.02.07 по делу № А75-4347/2006).

Срок заключения основного договора зависит от регистрации прав на недвижимость

На практике весьма распространены предварительные договоры купли-продажи или аренды недвижимого имущества, которое еще не введено в эксплуатацию или право собственности на которое еще не зарегистрировано за продавцом. Очень часто срок заключения основного договора в таких предварительных договорах привязывают к событию государственной регистрации права собственности на объект за продавцом либо к событию введения объекта в эксплуатацию (например, к дате открытия торгового или офисного центра). Однако все названные события зависят от воли и действий продавца. Следовательно, срок заключения основного договора фактически не согласован. В этом случае действует общее правило о сроке заключения основного договора - в течение 1 года с момента заключения предварительного договора (п. 4 ст. 429 ГК РФ).

Пример из практики По условиям предварительного договора компании обязались заключить основной договор купли-продажи земельного участка в течение 15 рабочих дней после получения продавцом свидетельства о государственной регистрации права собственности на данный участок. Регистрация права собственности продавца на этот участок требовалась по той причине, что на момент заключения предварительного договора данный участок не был выделен из состава другого принадлежащего продавцу земельного участка. Продавец выполнил необходимые действия по выделению земельного участка с присвоением ему отдельного кадастрового номера и зарегистрировал свое право собственности на него через три года после заключения предварительного договора. Покупатель потребовал заключения основного договора, но получил отказ и обратился с аналогичным требованием в суд. Первая инстанция иск удовлетворила, однако кассационная инстанция отменила это решение и отказала в иске, поскольку срок предварительного договора был определен указанием на событие, которое не обладает признаком неизбежности наступления, так как зависит от воли одной из сторон и могло не наступить. Следовательно, стороны не согласовали условие о сроке. Таким образом, основной договор подлежал заключению в течение года с момента заключения предварительного договора, но так как до истечения этого срока объект продажи не был сформирован и стороны в этот период не направляли друг другу предложение о заключении договора, то обязательства, предусмотренные предварительным договором, прекратились (определение Высшего арбитражного суда от 10.05.11 № ВАС-5436/11, постановление Федерального арбитражного суда Северо-Западного округа от 15.02.11 по делу № А56-1371/2010).

Пример похожей ситуации, в которой срок заключения основного договора аренды торгового помещения был привязан к окончанию строительства торгового центра, можно найти в определении Высшего арбитражного суда от 05.03.11 № ВАС-2352/11. Совет в темуЕсли в предварительном договоре стороны все-таки привязывают срок заключения основного договора к регистрации прав на недвижимость, надо установить крайнюю дату.Например, можно сформулировать условие о сроке так: основной договор заключается в течение 10 дней со дня регистрации права собственности на объект за продавцом, но не позднее 01.12.11. В этом случае в спорной ситуации суд будет ориентироваться только на крайнюю дату заключения основного договора (постановление Федерального арбитражного суда Московского округа от 07.04.11 по делу № А41-14951/09).

Вопрос в тему

Какова позиция судов общей юрисдикции относительно свойства неизбежности события, наступлением которого определен срок?

Поскольку Верховный суд не давал разъяснений о том, что событие не может зависеть от воли и действий сторон (аналогично мнению Президиума ВАС РФ), у судов общей юрисдикции отсутствует единая позиция по этому вопросу. Есть примеры, когда суды признают соответствующей законодательству привязку срока заключения основного договора во исполнение предварительного к дате регистрации права собственности на объект (определение Санкт-Петербургского городского суда от 02.11.10 № 14870).

Если срок зависит от действий сторон и эти действия совершены, то срок установлен

Нередко стороны договора подряда ставят срок начала выполнения работ в зависимость от каких-либо действий заказчика - например, уплаты аванса, передачи необходимой документации и т. д. Ранее суды однозначно считали такое условие о сроке несогласованным, так как оно зависит от воли сторон. А поскольку это существенное условие для договора подряда, договор признавался незаключенным. Однако постановление Президиума Высшего арбитражного суда от 18.05.10 № 1404/10 изменило этот подход. Согласно правовой позиции, изложенной в этом постановлении, если начальный момент периода определен указанием на действие стороны договора или иных лиц, в том числе на момент уплаты аванса, и такие действия были совершены в разумный срок, то неопределенности в установлении срока производства работ нет. В этом случае условие о периоде выполнения работ должно считаться согласованным, а договор - заключенным.