| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Сечение сферы |
| Рубрика (тематическая категория) | Образование |
Плоскостью частного положения
Сфера пересечена фронтально- прое-цирующей плоскостью (рис.9.19.)
|
Для построения горизонтальных проекций точек воспользуемся параллелями сферы, проходящими через выбранные точки. Обязательно нужно выбрать точки 3 и 4, лежащие на экваторе, так как являются точками перехода с видимой на невидимую сторону поверхности (рис.9.19.).
РАЗВЕРТКИ
При изучении построения разверток поверхности рассматривают как гибкую нерастяжимую пленку. Некоторые поверхности при изгибании можно совместить с плоскостью без разрывов и склеивания. Такие поверхности называют развертывающимися, а полученную плоскую фигуру - разверткой. Поверхности, которые нельзя совместить с плоскостью, относятся к неразвертываемым.
Построение разверток имеет большое практическое применение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем его изгибания.
Основные свойства разверток поверхностей
Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот.
На основании этого можно сформулировать следующие свойства:
1. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой. Следствие: замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.
2. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке.
3. Прямой на поверхности соответствуют прямая на развертке.
4. Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные на развертке
Развертка поверхности многогранников
Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью.
Существуют три способа построения развертки многогранных поверхностей:
1) Способ треугольников (триангуляции);
2) Способ нормального сечения;
3) Способ раскатки.
Сечение сферы - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Сечение сферы" 2017, 2018.
В работе содержится план конспект занятия по теме:"Шар. Сечение шара плоскостью"(конспект достаточно схематичен). Для более полного представления об этом занятии рекомендую просмотреть, прилагающуюся к нему презентацию, опорный конспект, рефлексивные карты, а так же компьютерные тесты. Конспект соответствует новым ФГОС для СПО.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность. Роджер Бэкон Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости. Наум Яковлевич Виленкин
Составьте по чертежу задачу и решите ее. S B O A 10 см? ?
Составьте по чертежу задачу и решите ее. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Образующая конуса равна 10см. Найдите диаметр конуса и его высоту. S B O A 10см
Решение задачи: Треугольник А S В – равносторонний. У равностороннего треугольника все стороны равны. В нашам случае образующая равна диаметру. Значит диаметр равен 10 см. Треугольник О S В – прямоугольный. По теореме Пифагора: S О= √ S В 2 - ОВ 2 = S B O A
Тема занятия Шар. Сечение шара плоскостью
Цель занятия: Дать определения понятиям шар, сфера и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью
ЗАДАЧИ: изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; в ыяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью, научиться выполнять чертеж шара на плоскости; развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать выводы;
«Сфера и шар»
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного (радиус шара), от данной точки (центр шара). Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, удалённые от центра на расстояние, равное радиусу. /
т.О – центр сферы; R – радиус сферы; АВ – диаметр сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр. А, В – диаметрально противоположные точки шара. А В О R
Шар – тело вращения полукруга вокруг его диаметра как оси /
Сфера – тело вращения полуокружности вокруг его диаметра как оси /
Применение сферы /
Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность. /
ЗАРЯДКА ДЛЯ ГЛАЗ
Сечения шара плоскостью.
/ http://www.etudes.ru/ru/sketches/
Теорема 1 Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. ОО" – перпендикуляр. О" - центр круга – основание перпендикуляра.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью. Сечение шара
Решение задачи 29, с.337:
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-po-teme-sfera-shar?seconds=0&chapter_id=219
Сказка о возникновении шара. Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою. «Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?». Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.
ИЗ ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, т.е. шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова « шар» и « сфера» происходят от одного и того же греческого слова « сфайра » - мяч. При этом слово « шар» образовалось от перехода согласных сф в ш. В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.
ЗАДАЧИ: изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; формировать навыки решения задач; в ыяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью; развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать сделанные выводы; научиться изображать шар на плоскости;
СПАСИБО ЗА УРОК
Предварительный просмотр:
Опорный конспект учебного занятия по теме:
«ШАР. СЕЧЕНИЕ ШАРА ПЛОСКОСТЬЮ»
Тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки называется________________________________.
Эта точка называется____________________________шара.
Данное расстояние это _________________________шара.
Граница шара называется _____________________________________________, или________________________.
Отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности- это ___________________________.
Это отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и, проходящий через центр шара.
Концы любого диаметра называются________________________________________________ точками шара.
Шар является телом вращения. Он получается вращением полукруга вокруг его диметра как оси.
Выполни чертеж шара. Обозначь на нем его центр, проведи и обозначь радиус и диаметр, назови диаметрально противоположные точки шара.
ТЕОРЕМА. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Диаметральная плоскость –это плоскость, проходящая через__________________________шара.
Большой круг- это сечение шара______________________________________.
Большая окружность- это сечение ________________________ диаметральной плоскостью.
Рефлексивная карта студент__________________
1. Оцени решение поставленных учебных задач
учебные задачи | Решена полностью | Решена частично | Не решена |
изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой | |||
учиться применять полученные знания при решении задач и доказательстве теорем | |||
познакомиться с историей понятий «шар», «сфера» | |||
выяснить какие могут получаться фигуры при сечении шара плоскостью | |||
развивать умение работать в группе | |||
развивать логическое мышление | |||
формировать навыки контроля и самоконтроля. | |||
научиться изображать шар на плоскости | |||
развивать точность и ясность математической речи, учиться аргументировать сделанные выводы |
2. Оценка личностных приращений.
Планировал узнать | знаю | Планировал научиться | умею |
|
Определения шара и сферы | Применять ранее полученные знания при решении задач и доказательстве теорем | |||
Знать элементы сферы и шара и их определения | Аргуметировать сделанные предположения | |||
Какие фигуры могут получиться при сечении шара плоскостью | Выполнять чертеж шара и его элементов | |||
Узнать историю терминов «Шар», «Сфера». | Составлять задачи по готовым чертежам |
3. Самооценка.
А) Поставь себе оценку, которую ты по своему мнению заслуживаешь за работу на уроке.
Б) Сделай личные выводы
Предварительный просмотр:
Конспект занятия по геометрии в группе 1Д.
Тема занятия: "Шар. Сечение шара плоскостью".
Продолжительность занятия: 45 минут.
Учебник: «Геометрия, 10-11 класс», Погорелов А.В.
На занятии применяются элементы следующих современных образовательных технологий:
- Групповые технологии
- Здоровьесберегающие технологии
- Информационные компьютерные технологии
Концептуальная цель преподавания геометрии: развитие логического и абстрактного мышления, пространственного воображения и исследовательских способностей.
Цель занятия: ввести понятия шара и сферы и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью;
Задачи:
Изучить основные понятия, связанные с шаром и сферой; виды взаимного расположения шара и плоскости (сечения шара плоскостью);
- формировать навыки решения задач;
Развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы, к самоанализу и способности коррекции собственной деятельности;
Развивать точность и ясность математической речи
Воспитывать познавательный интерес к математике;
- воспитывать информационную культуру и культуру общения;
- воспитывать наблюдательность, самостоятельность, способность к коллективной работе.
Материально-дидактическое оснащение: компьютер, проекционный экран, проектор.
Формы работы: групповая работа, самостоятельная работа.
Тип урока: урок получения новых знаний.
Ход урока
I. Мотивация к началу занятия - 1 мин:
Приветствие.
В истории черпаем мы мудрость,
в поэзии – остроумие,
в математике – проницательность.
Роджер Бэкон
Решение трудной математической проблемы
Можно сравнить с взятием крепости.
Наум Яковлевич Виленкин
Обращаю внимание на раздаточный материал и как с ним работать (Слайд 1)
II. Актуализация знаний учащихся - 7мин.:
а) Выполнение компьютерного теста (9-10 чел. )
б) С обучающимися не занятыми компьютерным тестированием составление и решение задачи по готовому чертежу (оставшаяся часть группы) (Слайд 2-4)
в) обобщение результатов работы и предварительные оценки за урок(тест и решение задачи)
III. Самоопределение к деятельности.
В этом году мы с Вами начали изучать раздел геометрии, который называется стереометрия. Что изучает стереометрия?
- Посмотрите на стол и назовите какие тела Вы видите?
- Покажите призмы
- Покажите цилиндры; конусы
- Кто знает как называется тело оставшееся на столе?
- Как Вы думаете какова тема нашего сегодняшнего занятия?
- Попробуйте сформулировать основную цель нашего занятия.( ввести понятия шара и сферы и их элементов, выяснить какая фигура лежит в сечении шара плоскостью )
- Какие задачи для достижения этой цели мы себе поставим?
(Слайд 4-6 тема, цель, задачи)
Изучение нового материала – 10 мин:
А)Тема сформулирована, цель и задачи ясны – вперед к новым знаниям.
Давайте вспомним, что в школе называли кругом?
Кто попробует по аналогии дать определение шара, учитывая что это тело пространства? Дают определение шара, радиуса шара, диаметра шара.(по аналогии идет работа со сферой; одновременно студенты заполняют опорный конспект)
Учимся изображать шар и его элементы на плоскости, показывать на чертеже эти элементы, находить предметы шарообразной формы в окружающей обстановке Слайд 7-9
Физминутка для снятия усталости с глаз и стресса
Б)Одной из целей занятия у нас стоит: выяснить какие фигуры могут получаться при сечении шара плоскостью. Сначала вспомним какие сечения могут быть у конуса (демонстрация математического этюда через Интернет)
Подумайте, включите свое пространственное воображение и сделайте предположение о том какие сечения могут быть у шара.
Великий российский математик Лобачевский говорил: « У математики нет авторитетов. Единственный аргумент истинности- довод».
Сформулирует и докажет теорему о сечении шара плоскостью(.....) (10 мин)
Повторение этапов доказательства.
В) история понятий шар и сфера (......)
IV. Закрепление изученного материала - 5мин
Решение задачи.
Работа в парах и проверка при помощи интернет
V Итог занятия. Рефлексия.
Вопросы для закрепления :
- Что такое шар?
- Что такое шаровая поверхность или сфера?
- Что такое радиус, диаметр, хорда шара?
- Какие точки называются диаметрально противоположными?
- Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара?
- Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара?
- Что такое большой круг, большая окружность?
Заполнение рефлексивной карты, выяснение все ли задачи урока достигнуты.
VI. Домашнее задание 1 мин:
п. 58, 59, № 30, 31
Инструкции по выполнению домашнего задания.
На рис. 11 показано построение проекций некоторых точек.
Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с
помощью проекции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.
Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е".
Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.
12. Построение сечений тора
В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей γ 1 (γ 1 ") и γ 2 (γ 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью α (α""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.
Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной
плоскостью γ 2 ) касается проекции плоскости α(следа α""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью γ 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости α (след α"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .
Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.
Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.
Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
Доказательство. Пусть б -- секущая плоскость и О -- центр шара (рис. 453). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость б и обозначим через О" основание этого перпендикуляра.
Пусть X -- произвольная точка шара, принадлежащая плоскости б. По теореме Пифагора 0X2 = 00"2+О"Х2. Так как ОХ не больше радиуса R шара, то т. е. любая точка сечения шара плоскостью б находится от точки О" на расстоянии, не большем, следовательно, она принадлежит кругу с центром О" и радиусом.
Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару. А это значит, что сечение шара плоскостью есть круг с центром в точке О". Теорема доказана.
Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом (рис. 454), а сечение сферы -- большой окружностью.
Задачи
Задача 1 . Два сечения шара радиуса 10 см параллельными плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.
Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:
в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:
Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R1 и R2. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.
Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO1 (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО2 находится по трем сторонам 001 = d, R1 R2 и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пересечь поверхность шара в двух различных точках, не пересекать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем случае она будет называться касательной к шару
Задача 3 Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
Определение.
Сфера (поверхность шара ) - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Объём шара :
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4π R 2 = π D 2
Уравнение сферы
1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Хорда является отрезком секущей прямой.
Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
d < R
Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m < R
Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:
r = √R 2 - m 2 ,
Где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение. Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
S = 2π Rh
